Teorema Faktor

Misalkan P(x) adalah polinom, (x-h) merupakan faktor P(x) jika dan hanya jika P(h) = 0. Artinya, ketika P(x) dibagi (x-h), tidak akan ada sisanya {S(h)=0}.

  • Jika (x-a) adalah faktor dari P(x), maka P(a)=0
  • Jika (ax-b) adalah faktor dari P(x), maka P(b/a)=0
  • Jika (x-a)(x-b) adalah faktor dari P(x), maka P(a)=0 dan P(b)=0

Contoh: carilah faktor-faktor dari 2x2 – 3x – 2.

Karena ini adalah persamaan kuadrat, mudah saja “menebak” faktor-faktornya. Bisa dilihat dari faktor-faktor konstanta (2) yaitu ±1 dan ±2. Dengan metode Horner, carilah yang menghasilkan sisa 0.

Setelah dihitung, ternyata faktor-faktor 2x2 – 3x – 2 adalah (2x+1) dan (x-2)

Untuk soal seperti ini, memang mudah menebak dengan Horner. Namun, ada juga soal dengan model seperti ini:

Tentukan himpunan penyelesaian P(x) = x3 + x2 – 10x + 8=0

Karena P(x) = 0, maka tidak ada sisanya, sehingga yang ditanya adalah faktor-faktornya. Daripada menebak-nebak faktornya, ada beberapa “rumus” dalam menentukan faktor:

  • Bila jumlah koefisien (∑koefisien) = 0, maka salah satu akarnya adalah 1 {faktornya (x-1)}. Contoh: x3 – 6x2 +11x – 6. Jumlah koefisiennya adalah 1+ (-6) + 11 + (-6) =0
  • Bila jumlah koefisien variabel berpangkat ganjil [ x3 , x, …] dan koefisien variabel berpangkat genap [x2, x0, …] adalah 0, maka salah satu akarnya adalah -1 {faktornya adalah (x+1)}
  • Bila kedua syarat di atas tidak terpenuhi, maka cobalah melihat dari faktor-faktor konstanta dalam polinom.

Maka, jawaban dari soal P(x) = x3 + x2 – 10x + 8=0 adalah
∑koefisien = 1+1-10+8=0
Maka salah satu faktornya adalah (x-1)
Dengan cara horner, diketahui bahwa setelah dibagi (x-1), H(x) = x2 + 2x – 8
Dengan melihat faktor-faktor konstanta diketahui bahwa faktor-faktor lainnya adalah (x-2) dan (x+4). Maka himpunan penyelesaiannya adalah HP={1,2,-4}

Selain soal seperti itu, ada juga semacam ini:

F(x) = x4 + 2ax2 + 10 – 3b memiliki faktor x2 + 2x – 3. Temukan nilai a dan b, lalu temukan faktor lainnya.

Dalam soal semacam ini, kita perlu memecah dulu faktor yang diketahui, yaitu x2 + 2x – 3, menjadi (x+3)(x-1). Sehingga diketahui:

faktor.png

Demikian penjelasan mengenai teorema faktor. Semoga bermanfaat!

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s