Operasi Polinomial

  1. Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan polinom f(x) dan polinom g(x) dapat dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenisnya. Misalkan 5x2 dan 3x2 dapat dijumlahkan menjadi 8x2 dan dikurangkan menjadi 2x2. Namun 5x3 dan 3x2 bila dijumlahkan menjadi 5x3 + 3x2 dan bila dikurangkan menjadi 5x3 – 3x2. Jadi, dalam menjumlahkan polinom perlu memperhatikan pangkatnya.

Contoh:

Diketahui dua buah sukubanyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan f(x) = x3 + x2 – 4 dan g(x) = x3 – 2x2 + x + 2

  1. f(x) + g(x) = x3+ x2 – 4 + x3 – 2x2 + x + 2

Maka, f(x) + g(x) =  2x3 – x2 + x – 2

  1. f(x) – g(x) = x3+ x2 – 4 – (x3 – 2x2 + x + 2)

f(x) – g(x) = x3 + x2 – 4 – x3 + 2x2 – x – 2

Maka, f(x) – g(x) = 3x2 – x – 6

  1. Perkalian

Untuk perkalian antarpolinom, tidak ada syarat spesifik. Perkalian sukubanyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua sukubanyak itu. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua buah sukubanyak itu digunakan sifat distributif perkalian baik distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian terhadap pengurangan.

Contoh:

Diketahui dua buah sukubanyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan f(x) = x3 + x2 – 4 dan g(x) = x3 – 2x2 + x + 2

f(x) • g(x) = ( x3 + x2 – 4)(x3 – 2x2 + x + 2)

f(x) • g(x) = x3(x3 – 2x2 + x + 2) + x2(x3 – 2x2 + x + 2) – 4(x3 – 2x2 + x + 2)

f(x) • g(x) = x6 – 2x5 + x4 + 2x3 + x5 – 2x4 + x3 +2x2 – 4x3 + 8x2 – 4x + 8

f(x) • g(x) = x6 + (-2x5 + x5) + (x4 – 2x4) + (2x3 + x3 – 4x3) + (2x2 + 8x2) – 4x – 8

Maka, f(x) • g(x) = x6 – x5 – x4 – x3 + 10x2 – 4x – 8

aaaaa.png

  1. Pembagian

Pembagian di polinomial memiliki beberapa metode. Sebelumnya kita akan membahas tentang dasar dari hasil bagi dan sisa dari pembagian polinom.

Sebagai contoh: 11:2 adalah 5 dengan sisa 1. Maka dapat dituliskan 11 = 2 • 5 + 1

Maka: yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian

P(x) = Q(x) • H(x) + S(x)

P(x) = yang dibagi
Q(x) = pembagi
H(x) = hasil bagi
S(x) = sisa pembagian

Setelah mengetahui dasar-dasar pembagian polinom, kita akan membahas 4 metode pembagian polinom.

  1. Cara pembagian bersusun

Sederhananya, pembagian bersusun menggunakan cara yang sama dengan metode pembagian dasar yg diajarkan sejak SD:

aaa.png

Dari contoh sederhana ini kita bisa melihat bahwa:

P(x) = 261
Q(x) = 7
H(x) = 37
S(x) = 2

Sekarang mari kita terapkan pada pembagian polinom. Misalkan f(x) = x3 – x2 + x -1 dibagi g(x) = x-2

111.png

Cara mengerjakannya adalah:

  1. Mulailah dengan membagi x3 pada P(x) dengan x pada Q(x). Maka akan didapatkan H(x) x2.
  2. Kalikanlah x2 dengan (x-2), sehingga diperoleh x3 – 2x2. Tempatkan di bawah yang dibagi dan kurangkanlah, sehingga tersisa x2 + x – 1.
  3. Bagilah x2 pada P(x) dengan x pada Q(x). Maka akan didapatkan H(x) x.
  4. Kalikanlah x dengan (x-2) sehingga diperoleh x2 – 2x. Kurangkanlah sehingga diperoleh sisa 3x-1.
  5. Bagilah 3x pada P(x) dengan x pada Q(x) sehingga diperoleh 3. Kalikanlah lagi dan kurangkanlah sehingga mendapatkan sisanya.
  1. Horner

Misalkan P(x) = ax3 + bx2 + cx + d dibagi dengan x-h. Untuk menghitung dengan cara horner pertama-tama:

  1. Tuliskanlah koefisien secara urut mulai dari variabel berpangkat tertinggi
    Jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0

Contoh: untuk 4x3 – 5x2 + 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, -5, 0, dan 1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta). Ingat, perhatikan tanda negatif dan positif!

  1. Misalkan x-h=0, maka x=h. Tuliskanlah nilai x ini di sebelah kiri bawah.
  2. Koefisien pertama, yaitu a, tidak dijumlahkan dengan apapun, sehingga hasilnya tetap a
  3. Koefisien pertama (a) dikalikan dengan nilai x (h) sehingga hasilnya ah yang dituliskan di bawah koefisien kedua (b). Jumlahkan keduanya.
  4. Lanjutkan terus hingga koefisien terakhir dijumlahkan dengan hasil kali terakhir. Penjumlahan terakhir ini adalah S(x). Dan hasil penjumlahan lainnya adalah koefisien dari H(x).

Berikut adalah contoh soal:

  1. Hasil pembagian 3x3 + 2x2 – 5x – 8 dibagi dengan x+2 adalah…

11horner.png

Tulislah dulu koefisien dari P(x) dan nilai x seperti di atas.

horner.png

Kemudian gunakan langkah-langkah yang telah dijelaskan di atas, sehingga didapat hasilnya H(x) = 3x2 – 4x + 3 dan sisanya S(x) = -14

2. Tentukan H(x) dan S(x) dari P(x) = x3 + 2x2 + 3x – 4 dibagi dengan Q(x) = x-5

Pertama-tama, seperti dijelaskan di atas, tulislah koefisien dari P(x) secara urut dari terbesar. Kemudian di sebelah kiri tulislah nilai x, yang didapat dengan permisalan Q(x) = 0 yaitu x-5 = 0 sehingga diperoleh x = 5

9

3. Apabila menemui soal di mana pembagi berupa (ax-b) di mana a≠1, maka hasil baginya harus dibagi dengan a. Namun, sisa pembagian tidak perlu dibagi.

P(x) = 2x2 + 5x – 1 : Q(x) = 2x-3

horner 2

Dari penghitungan ini, dapat dilihat bahwa H(x) yang diperoleh adalah 2x+8. Nah, H(x) ini yang harus dibagi dengan a (yaitu 2) sehingga H(x) = x+4, dan S(x) = 11. Bila tidak yakin dalam penghitungan, bisa mengkonfirmasi jawaban dengan menggunakan cara bersusun.

Kalau contoh-contoh di atas adalah cara horner saat Q(x) berbentuk (ax-b), ada lagi bentuk lain yaitu jika pembagi dapat difaktorkan (seperti pangkat 2 atau lebih), maka:

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1, dan seterusnya

Contoh soal:  Polinomial 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan 2x2 – x – 1, tentukan hasil bagi dan sisanya!

Q(x) = 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

P1 adalah 2x + 1 = 0 → x = –½

Padalah x – 1 = 0 → x = 1

Cara Hornernya:

H(x) = x – 1

S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

  1. Koefisien tak tentu

Koefisien tak tentu mengikuti definisi pembagian polinom P(x) = Q(x) • H(x) + S(x)

Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari P(x) = x3 + 2x2 – x + 3 dengan x+2

Maka dapat dituliskan x3 + 2x2 – x + 3 = (x+2) . H(x) + S(x)

Karena kita tidak tahu apapun tentang H(x) kita harus menggunakan permisalan. Jadi kita tahu bahwa P(x) berderajat 3 dan Q(x) berderajat 1. Maka dapat disimpulkan bahwa H(x) harus berderajat 2 agar saat dikali Q(x) menghasilkan P(x) berderajat 3. Lalu, untuk S(x), bila anda memperhatikan, derajatnya selalu derajat Q(x) dikurangi 1. Jadi bila Q(x) berderajat 1, maka S(x) berderajat 0. Bila Q(x) berderajat 4, maka S(x) berderajat 3, dan seterusnya. Bila ditulis akan terlihat seperti ini:

x3 + 2x2 – x + 3 = (x+2)(ax2 + bx + c) + (d)     kemudian jabarkanlah:

x3 + 2x2 – x + 3 = ax3 + (b+2a)x2 + (2b+c)x + (2c+d)       hal ini berarti ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka:

a. Koefisien pangkat 3

1 = a
maka a = 1

b. Koefisien pangkat 2

2 = b + 2a (ingat a=1)
2 = b + 2
b = 0

c. Koefisien pangkat 1

-1 = 2b + c   (ingat b=0)
c = -1

d. Koefisien pangkat 0

3 = 2c+d    (ingat c=-1)
d = 5

Sehingga: H(x) = x2 – 1 dan S(x) = 5

  1. Horner-Kino

Horner-Kino digunakan untuk menghitung pembagian dengan pembagi berbentuk (ax+ bx + c), atau berpangkat ≥ 2. Perhatikan contoh:

x+ x2+ 2x + 10 dibagi x2 – x + 3

a. Misalkan x2 – x + 3 adalah ax2 + bx + c. Maka: a= 1, b= -1, c=3

b. Tuliskan dulu koefisien P(x) seperti pada cara Horner. Bedanya dengan horner adalah yang ditulis di sebelah kiri.

kino

Yang di sebelah kiri adalah pembagian koefisien dari Q(x), dengan -b/a selalu di bawah.

Pada baris 1, adalah penulisan koefisien P(x).
Pada baris 2, kolom paling kiri -c/a (-3/1) kolom 1 dan kolom 2 dikosongkan.
Pada baris 3, kolom paling kanan -b/a (-1/-1) kolom 1 dan kolom 4 dikosongkan.
Kalikanlah seperti pada contoh. Ingat, derajat S(x) adalah derajat Q(x) – 1. sehingga karena derajat Q(x) 2, derajat S(x) 1; bentuknya ax+b, karena itu sisa diambil dari 2 kolom paling kiri.
Sedangkan derajat H(x) adalah derajat P(x) dikurangi derajat Q(x). Sehingga derajat H(x) adalah 1, bentuknya juga ax+b.

Sekian penjelasan mengenai operasi polinomial. Semoga membantu 🙂

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s